matrix & arithmetic (1)

Matrix

概念

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$$

A称作m x n矩阵，矩阵中的数称作矩阵A的元。
$a_{ij}$位于矩阵的第i行，j列，称作矩阵A的(i, j)元。

• 行列均为n的矩阵成为n阶矩阵或n阶方阵；
• 只有一行的矩阵成为行向量
• 只有一列的矩阵成为列向量。
• 行列相同的两矩阵成为同型矩阵
• 矩阵的元均是0的矩阵成为零矩阵

线性变换

$$\begin{cases} y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\ y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\ ... \\ y_m = a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \end{cases}$$

从 $x_1 , x_2 , ... x_n$到$y_1 , y_2 , ... y_n$的过程称作线性变换

n阶方阵，主对角线均为1的矩阵，称作单位矩阵E。
代表这线性变换中的恒等变换，$x_i -> y_i$

Arithmetic

加减

有矩阵$A = (a_{ij}), B = (b_{ij})$同型矩阵则：

$$A + B = C(a_{ij}+b_{ij})$$

矩阵加减满足交换率、结合律

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)

乘法

数乘矩阵：

$$\lambda A = A \lambda = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & ... & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & ... & \lambda a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & ... & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}$$

1. $$(\lambda \mu)A = \lambda (\mu A)$$
2. $$(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$$
3. $$\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$$

矩阵相乘：
有矩阵$A = (a_{ij})$是m s的矩阵，$B = (b_{ij})$是s n的矩阵,$C = (c_{ij})$：

$$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... a_{is}b_{sj} = \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}$$

只有A矩阵的列和B矩阵的行相同时才能相乘
把矩阵相乘记作AB = C，C中的元即是A的行元与B的列元的积和。

1. $$(AB)C = A(BC)$$
2. $$\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$$
3. $$A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC$$

n阶方阵，主对角线均为$\lambda$的矩阵，称作纯量矩阵

矩阵乘法一般不满足交换律，开平方公式、平方和公式，只有在AB可交换是有效。

矩阵的转置

将矩阵元放入行列交换的位置形成的新矩阵，称为转置矩阵$A^T$

1. $$(A^T)^T = A$$
2. $$(A + B)^T = A^T + B^T$$
3. $$(\lambda A)^T = \lambda A^T$$
4. $$(AB)^T = B^TA^T$$

方阵行列式

1. $$\lvert A^T \rvert = \lvert A \rvert$$
2. $$\lvert \lambda A \rvert = \lambda^n \lvert A \rvert$$
3. $$\lvert AB \rvert = \lvert A \rvert \lvert B \rvert$$

关于第一点可参考行列式性质一，转置的行列式的组合与未转置的行列式一一对应。

伴随矩阵 为原矩阵元的代数余子式所组成的矩阵的转置

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{m1}\\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{m2}\\ ... & ... & ... & ...\\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{mn} \end{pmatrix}$$ $$AA^* = A^* A= \lvert A \rvert E$$

由于原矩阵的行和其伴随阵列的积，即行元对应代数余子式的和即是行列式的值D。
矩阵相乘，不在同行的积为0，所以最后得到的是一个纯量矩阵

Inverse matrix

给出一线性变换：

$$\begin{cases} y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\ y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\ ... \\ y_m = a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \end{cases}$$

设X为xi组成的向量，Y为yi组成的向量， A为系数矩阵：

$$Y = AX$$

左乘A的伴随矩阵得到：

$$A^* Y = A^* AX = \lvert A \rvert X$$

当A的行列式不为0时，有

$$X = \frac{1}{\lvert A \rvert} A^* Y$$

设$B = \frac{1}{\lvert A \rvert} A^*$， 则有$X = BY$

• 如果对n阶矩阵A，有矩阵B使 AB=BA=E, 则称B为A的逆矩阵
• 如果矩阵A可逆，则$\lvert A \rvert \neq 0$
• 如果$\lvert A \rvert \neq 0$, 则矩阵A可逆

• 如果A可逆，则$A^{-1}$也可逆。$(A^{-1})^{-1} = A$
• 如果A可逆，$\lambda \neq 0$，则$\lambda A$也可逆。$(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}$
• 如果A、B为同阶矩阵均可逆，则AB也可逆。$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

polynomial 多项式

1. 如果$A = P \Lambda P^-1$ 则 $A^k = P \Lambda^k P^-1$

   $$\varphi(A) = a_0E+a_1A+...a_mA^m$$ $$= Pa_0EP^{-1} + Pa_1AP^{-1}+...Pa_mA^mP^{-1}$$ $$= P\varphi(\Lambda)P^{-1}$$

2. 如果$\Lambda = diag(\lambda_1, \lambda_2...\lambda_n)$是对角阵,则有$\Lambda^k = diag(\lambda_1^k, \lambda_2^k...\lambda_n^k)$

   $$\varphi(\Lambda) = a_0E + a_2\Lambda + ... a_m\Lambda^m$$

Matrix block

• 矩阵A、B有相同行列数、分块方法有： $$A = \begin{pmatrix} A_{11} & ... & A_{1r}\\ ... & ... & ... \\ A_{s1} & ... & A_{sr} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} B_{11} & ... & B_{1r}\\ ... & ... & ... \\ B_{s1} & ... & B_{sr} \end{pmatrix}$$

$$A + B = \begin{pmatrix} A_{11} + B_{11} & ... & A_{1r} + B_{1r}\\ ... & ... & ... \\ A_{s1} + B_{s1} & ... & A_{sr} + B_{sr} \end{pmatrix}$$

*

$$A = \begin{pmatrix} A_{11} & ... & A_{1r}\\ ... & ... & ... \\ A_{s1} & ... & A_{sr} \end{pmatrix}$$

是分好块的矩阵， $\lambda$是一个数，则有：

$$\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda A_{11} & ... & \lambda A_{1r}\\ ... & ... & ... \\ \lambda A_{s1} & ... & \lambda A_{sr} \end{pmatrix}$$

• A 为m x l矩阵，B为l x n, 分块同上，则有： $$AB = \begin{pmatrix} C_{11} & ... & C_{1r}\\ ... & ... & ... \\ C_{s1} & ... & C_{sr} \end{pmatrix}$$

$$C_{ij} = \sum_{k=1}^{t}{A_{ik}B_{kj}}(i=1,..,s;j=1,...r)$$

ps. A矩阵为s x t，B矩阵为t x r。

• 设$A = \begin{pmatrix} A_{11} & ... & A_{1r}\\ ... & ... & ... \\ A_{s1} & ... & A_{sr} \end{pmatrix}$，则$A^T = \begin{pmatrix} A_{11}^T & ... & A_{1r}^T\\ ... & ... & ... \\ A_{s1}^T & ... & A_{sr}^T \end{pmatrix}$
• 如果A为n阶矩阵，如果A的分块只有在主对角线上有非零子块，称A为分块对角矩阵