漫步微积分5.2 - 微分和切线逼近

前面的文章主要关注切线问题，即给定一条曲线，找出它切线的斜率；或者等价地，给定一个函数，求它的导数。

除了全面研究导数外，牛顿和莱布尼兹还发现，几何和物理中许多问题需要求导的逆过程。有时叫做切线问题的逆问题：给定函数的导数，找出函数本身。

之后的文章，我们会用到许多之前学到的求导规则。但是，这些规则都反过来用，由此产生了多项式积分。这些过程虽然简单，但是有许多非凡的应用，之后的文章会详细进行讨论。

我们知道，函数$y=f(x)$的导数$f’(x)$的定义为

$$\begin{equation} f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\tag1 \end{equation}$$

需要理解的是这里的$\Delta x$是自变量$x$的非零变化量，$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$是对应$y$的变化量。之前也介绍过与它等价的符号

$$\begin{equation} \frac{dy}{dx}\tag2 \end{equation}$$

我们强调过(2)是一个单独的符号，不是分数。然而(2)看起来的确像一个分数，在某些情况下甚至可以像分数那样用。最重要的一个例子就是链式法则

$$\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{dy}\frac{dx}=\frac{dy}{dx}$$

复合函数导数的正确形式通过消去过程得到，导数就像分数一样。

现在我们要给出(2)式各个部分的含义，即$dy,dx$，这么看得话，他们的商就是微分$f’(x)$。我们这么做的原因目前比较难解释。但是这些符号对于将要介绍的计算方法(积分中的换元法，求解微分方程的分离变量法)都是非常必要的先修知识。

考虑一个例子，$y$是$x$的线性函数

$$\begin{equation} y=mx+b\tag3 \end{equation}$$

$P=(x,y)$是这条直线上的点(图1)。如果$x$的增量为$\Delta x$， $y$ 对应的增量为$\Delta y$，那么(3)的斜率是

$$m=\frac{change\ in\ y}{change\ in\ x}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

所以

$$\begin{equation} \Delta y=m\Delta x\tag4 \end{equation}$$

我们用符号$dx,dy$分别表示这些增量，那么根据定义

$$dx=\Delta x\quad and\quad dy\Delta y$$

我们称他们为微分。利用这些符号，(4)式变为

$$\begin{equation} dy=m\ dx\tag5 \end{equation}$$ 图1

现在考虑任意一个函数

$$\begin{equation} y=f(x)\tag6 \end{equation}$$

假设该函数在$x$处有导数。如果$P$是图像中对应的点(图2)。点$P$是图中对应的点，那么点$P$的切线就是直线$PR$，斜率是$m=f’(x)$。根据$(6)$得到的微分$dx,dy$，我们可以发现变量$x,y$的增量和这条切线有关联。为了更精确的描述，自变量$x$的微分$dx$在$x$处的任意增量为$\Delta x$ 即

$$\begin{equation} dx=\Delta x\tag7 \end{equation}$$

因变量$y$的微分$dy$对应的增量为$\Delta y$即

$$\begin{equation} dy=f'(x)dx\tag8 \end{equation}$$

图2
因此，如图2所示，如果$dx=\Delta x=PQ$是$x$的任意变化量，那么$\Delta y=QS$和$dy=QR$分别是$y$沿着曲线和切线的相应变化量。当$f(x)=mx+b$时，$(8)$ 简化成$(5)$。

如果$dx\neq =0$，那么我们可以用它除以$(8)$得到

$$\begin{equation} \frac{dy}{dx}=f'(x)\tag9 \end{equation}$$

从这点来看，等式$(9)$确实成立，因为它的两边是同一件事物的不同书写形式，即函数$y=f(x)$的导数。根据$(9)$的新特性，目前我们可以说左边的莱布尼兹不仅仅看起来像一个分数，实际就是个分数

$$\frac{dy}{dx}=\frac{differential\ of\ y}{differential\ of\ x}$$

给定函数$y=f(x)$，通过计算微分然后乘以$dx$，莱布尼兹符号很容易得到如$(8)$ 所示的微分形式。第一列的计算给出了通用模板

$$\begin{align*} y&=f(x)& y&=x^2\\ \frac{dy}{dx}&=f'(x)& \frac{dy}{dx}&=2x\\ dy&=f'(x)dx& dy&=2xdx \end{align*}$$

第二列的计算给出了具体实例$y=x^2$是如何计算的。利用这个符号我们就可以直接将$y=x^2$写成$dy=2xdx$的形式，而不需要中间步骤$dy/dx=2x$。需要强调的是，等式左边有微分那么右边必须也要有微分。也就是说，不能写成$dy=2x$，而应该是$dy=2xdx$

一般而言，经常使用$df(x)$而不是$dy$，因为前者更加方便。

例1：

$$d(x^2)=2xdx,\quad d(5x^4)=20x^3dx,\quad d(\frac{1}{x})=(-\frac{1}{x^2})dx=-\frac{dx}{x^2}$$ $$d(x^4+7x^2+6)=(4x^3+14x)dx$$

以及

$$d(x\sin x)=(x\cos x+\sin x)dx$$

现在，对于我们熟悉的计算导数公式都可以给出等价的微分形式。假设$y=f(u)$，那么$dy=f’(u)du$。对于任意函数$f(u)$，我们有

$$\begin{equation} d(u^n)=nu^{n-1}du,\quad d(\sin u)=\cos udu\tag{10} \end{equation}$$

等等。当微分符号可以这样使用时，我们就可以不需要自变量直接写出微分形式。根据这个思想，如果我们用$dx$乘以乘法法则和除法法则，那么我们得到

$$d(uv)=udv+vdu\quad and\quad d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$$

更进一步，如果$y=f(u)$并且$u$是关于变量$x$的函数，$u=g(x)$，那么我们可以将$du=g’(x)dx$代入$dy=f’(u)du$得到

$$\begin{equation} dy=f'(u)g'(x)dx\tag{11} \end{equation}$$

这是链式法则的微分形式

$$\begin{equation} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\tag{12} \end{equation}$$

在$(11),(12)$中，链式法则是微分代数运算的结果。这个完美的钥匙锁配合使得微分符号成为微积分中不可或缺的工具，这会在之后详述。

例2：利用$(10)$，并且根据链式法则我们有

$$\begin{eqnarray*} d(x^2+1)^4 &=&4(x^2+1)^3d(x^2+1)\\ &=&4(x^2+1)^3\cdot 2xdx\\ &=&8x(x^2+1)^3dx \end{eqnarray*}$$

以及

$$\begin{eqnarray*} d(\sin 4x^3) &=&\cos 4x^3d(4x^3)\\ &=&\cos 4x^3\cdot 12x^2dx\\ &=&12x^2\cos 4x^3dx \end{eqnarray*}$$

对于经常使用微积分的人，他们习惯将微分看做很小的量，虽然定义里没有这么要求。他们之所以这样是有理由。一方面看图5.2，曲线某点的切线在切点处非常靠近曲线，这意味着当$dx$很小时，曲线和切线几乎很难区分，因此$dy$是增量$\Delta y$非常好的近似，而且$dy$比$\Delta y$更容易计算。将它陈述成计算步骤就是(图3)：

对于给定的$x$值，可以求出$f(x)$和$f’(x)$，当然$dy=f’(x)dx$是已知的，那么我们可以利用公式

$$\begin{equation} f(x+dx)\cong f(x)+dy\tag{13} \end{equation}$$

来计算$x$附近的近似函数值。

公式$(13)$叫做切线逼近，又是也叫作线性逼近。

例3：用微分求出$\sqrt[3]{28}$ 的近似值

解：对于$x=27$，$\sqrt[3]{x}$很容易求出，所以我们取$y=f(x)=\sqrt[3]{x},dx=1$。因为$dy=\frac{1}{3}x^{-2/3}dx$，我们有

$$dy=\frac{1}{3}(27)^{-2/3}\cdot 1=\frac{1}{3\cdot 9}=\frac{1}{27}$$

因此

$$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{28}=f(28) &\cong &f(27)+dy\\ &=&3+\frac{1}{27}\cong 3.037 \end{eqnarray*}$$

利用计算器得到$\sqrt[3]{28}$的精确值为$3.036588972\ldots$。即便是在$dx=1$的情况下，我们利用微分得到的近似值精确到了三位小数。

图3
当然，这个例子的计算值比较小，因为立方根的计算比较容易得到精确值。之所以举这个例子是为了强调微分对于更加复杂的函数增量来说，是个很好的线性近似。在以后的文章中，当我们遇到几个变量函数的微分时，会理解到它的重要性。

下面再举几个例子。

例4：计算$4.01\ ft$立方的精确和近似值。

解：如果$x$表示边长，那么体积就是$V(x)=x^3$。精确体积为$V(4.01)=(4.01)^3=64.481201\ ft^3$。现在$dV=3x^2dx$，$x=4,dx=0.01$。近似体积为

$$V(4.01)\cong V(4)+dV=4^3+3\cdot 4^2(0.01)=64.48\ ft^3$$

结果看着不糟糕啊。(就是这么神奇，哈哈哈)

例5：如果地球的半径增加$1\ ft$，那么它的表面积近似增加多少？

解：半径为$r$的球表面积为$A=4\pi r^2$，地球的半径为$4000\ mi$。如果我们用$dA$来近似表示精确值$\Delta A$，其中$r=4000\ mi,dr=1$，从而

$$\Delta A\cong dA=8\pi rdr=8\pi (4000)\cdot \frac{1}{5280}\ mi^2$$

其中$1\ ft=1/5280\ mi$。计算之后我们发现$\Delta A\cong 19.04\ mi^2$。将近曼哈顿岛的面积$(22\ mi^2)$

例6：如果地球的半径减小$1\ in$，那么它的体积近似减少多少？

解：半径为$r$的球的体积为$V=\frac{4}{3}\pi r^3$，所以$dV=4\pi r^2dr$

$$\begin{eqnarray*} \Delta V\cong dV &=&4\pi(4000)^2\cdot\left(\frac{-1}{12\cdot 5280}\right)\\ &\cong&-3173.32\ mi^3 \end{eqnarray*}$$

这里出现负号是因为$r$是缩小的，所以答案是体积减小$3173.32\ mi^3$

注解1：函数$y=f(x)$二阶导的标准符号之一为$d^2y/dx^2$。根据本文的观点，需要指出的是分子$d^2y$和分母$dx^2$本身没有任何意义。表达式$d^2y/dx^2$是一个不可分割的符号。

注解2：关于曲线和微分的莱布尼兹神话。知道是十九世界早期极限的现代概念才被提出来，所以类似等式$(1)$那样的导数定义不可能是莱布尼兹以及他的继承者们想出来的。那么关于导数和微分的早期想法是什么呢？

那个时期大部分最富有成效的数学思想是基于一种形式或者说另一种无限小的符号。对于等式

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

莱布尼兹的想法是：当$\Delta x$趋近0时，$\Delta y,\Delta x$都变成无限小。这样的话将极限$dy/dx$看做两个无穷小量$dy,dx$的商就是合理的，称作微分。在莱布尼兹的思想里，无穷小是一个特殊的数，它不是零，但是比任何其他数都小。

这个想法还有个几何解释，曲线可以看做是无穷多个无限小的直线段组成的(图4)。切线就是一条包含几个这种小线段的直线。为了求出点$(x,y)$处的切线斜率，沿着曲线我们移动无限小的距离到达点$(x+dx,y+dy)$，观察到连接着两个点的无限小线段的斜率就是两个无限小量的商$dy/dx$。

图4
莱布尼兹引入了微分$dx,dy$来表示变量$x,y$无限小的变化量。为了理解这些微分如何使用，我们假设

$$\begin{equation} y=x^2\tag{14} \end{equation}$$

然后莱布尼兹会用$x+dx,y+dy$来替换$x,y$，从而得到

$$y+dy=(x+dx)^2=x^2+2xdx+dx^2$$

利用$(14)$得到

$$\begin{equation} dy=2xdx+dx^2\tag{15} \end{equation}$$

到这一步，莱布尼兹简单的去掉$dx^2$，从而得到我们熟悉的形式

$$\begin{equation} dy=2xdx\tag{16} \end{equation}$$

用$dx$除以两边，得到分数形式

$$\begin{equation} \frac{dy}{dx}=2x\tag{17} \end{equation}$$

莱布尼兹解释说无限小的平方是无限无限小或者说更高阶的无限小，因此完全可以忽略。对于莱布尼兹来说，导数就是一个商，一个无限小的等式，计算方法如$(17)$，图示如图4。他的微积分形式之后被叫做无限小微积分。

比较莱布尼兹无限小的使用和现代基于极限的方法可能是有益的。对于函数$y=x^2$，如果$\Delta x$是$x$的非零增量，$\Delta y$是$y$对应的增量，那么利用上面的计算我们得到

$$\Delta y=2x\Delta x+\Delta x^2$$

这是没有像莱布尼兹那样忽略掉$\Delta x^2$得到的结果，利用现代的方法，我们两边都除以$\Delta x$得到商$\Delta y/\Delta x$，然后定义导数为$\Delta x$趋近零时这个商的极限

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x$$

我们用极限计算替换无穷小得到的$(17)$的形式。

莱布尼兹的想法几乎奇迹般的易用和有效，引导微积分和物理科学发展将近150年。然而，这些想法是由缺陷的，上面描述的无限小根本不存在，因为不存在一个正数，它比任何其他的正数都小。在超过一个世纪的时间段内，微积分作为工具的确取得了巨大的成功，但对于微积分是什么一直没有人能够给出逻辑上可接受的解释。困扰基本概念的迷雾直到十九世纪早期利用经典的极限概念才被揭开。幸运的是，早期的数学家-莱布尼兹，伯努利，欧拉，拉格朗日-对他们研究问题中合理和正确的部分有比较直观的认识。虽然从现在来看他们的观点经常是不严谨的，但是这些开拓者很少会进入结论的歧途中。

如果神话是复杂或隐藏了部分事实的含蓄，精炼，象征性的表达，那么数学的确和历史与文学一样有它的神话。莱布尼兹的微分被极限理论的“官方微积分”摒弃了，但是无论如何，他们依然是这个神话主题的一部分。

漫步微积分二十——微分和切线逼近