漫步微积分5.5 - 重力作用下的运动 逃逸速度和黑洞

微积分发展的许多原始灵感来自于力学，这两个主题到今天为止一直是不可分割的。力学建立在牛顿提出的基本原则上。这些原则的陈述需要导数的概念，在本文我们会看到这些应用依赖于积分和微分方程的解。

直线运动是沿着一条直线的运动，与之相对应，沿着曲线的运动有时称为曲线运动。我们目前是研究单个微粒的直线运动，也就是说，将质量为$m$的物体想象成一个点。在讨论物理对象的运动时，例如汽车，子弹，落石等，我们经常忽略对象的大小和形状，将它看成一个质点。

质点的位置完全取决于坐标系的选择(图1)。因为质点移动，$s$是时间$t$的函数，为了测量初始时间为$t=0$。用符号表示就是$s=s(t)$。正如前面文章所讨论的，质点的速度是位置的变化率

$$v=\frac{ds}{dt}$$ 图1

速度(speed)是速度(velocity)的绝对值。一般情况，移动质点的速度随着时间而改变，加速度$a$是速度的变化率

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)=\frac{d^2s}{dt^2}$$

它的正负取决于$v$是增加还是减小。

牛顿力学的基本假设是力引起速度的变化，也就是说加速度是由力造成的。力的概念来源于我们日常中的主观感受，例如当我们推一辆车或者扔一个石头时我们改变了物理的速度。对于直线运动，我们假设运动是一个具体数值，它的正负由运动方向的正负确定。

牛顿第二运动定律说质点的加速度和作用在它上面的力$F$成正比，与质量$m$成反比

$$\begin{equation} a=\frac{F}{m}\tag1 \end{equation}$$

或等价地

$$\begin{equation} F=ma\tag2 \end{equation}$$

如果力加倍，那么根据(1)加速度也加倍；如果质量加倍，那么加速度减倍。在这种情况下，物体的质量可以解释为抑制加速力的能力。

等式(2)可以看做力的一种定义，因为右边的量都可以计算得到，他们确定力力。另一方面，力$F$经常会提前知道。那么方程$F=ma$可以写成二阶微分方程

$$\begin{equation} m\frac{d^2s}{dt^2}=F\tag3 \end{equation}$$

此式有深远的影响，在合适的初始条件下，通过求解(3)可以得出任意时间$t$时的质点位置$s$。

例1：质量为$m$的石头从地球表面上的某点下降，求出它的运动方程。

解：最重要的例子就是大家熟悉的重力。根据实验结果，我们知道作用在石头上的重力竖直向下并且$F=mg$，其中$g$是恒定的加速度($g=32\ ft/s^2\ or\ 9.80\ m/s^2$)。如果$s$是垂直坐标轴上测量的石头位置，向下为正方向，原点是石头的初始位置(图2)，那么方程(3)就是

$$m\frac{d^2s}{dt^2}=mg\quad or\quad \frac{d^2s}{dt^2}=g$$ 图2 方程两边积分两次得 $$ \begin{align} u&=\frac{ds}{dt}=gt+c_1\tag4\\ s&=\frac{1}{2}gt^2+c_1t+c_2\tag5 \end{align} $$ 其中$c_1,c_2$是常数。因为石头在$t=0$时下降，也就是没有初始速度，所以初始条件为 $$ v=0\quad and \quad s=0\quad when \quad t=0 $$ 条件$v=0\ when \ t=0$求出$c_1=0$，条件$s=0\ when \ t=0$求出$c_2=0$。因此我们有 $$ \begin{align} v&=gt\tag6\\ s&=\frac{1}{2}gt^2\tag7 \end{align} $$ 如果我们改变条件，在$t=0$时，初始位置为$s=s_0$，以初始速度为$v_0$向下扔石头，那么初始条件为 $$ v=v_0\quad and \quad s=s_0\quad when\quad t=0 $$ (4)(5)变为 $$ \begin{align*} v&=gt+v_0\\ s&=\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0 \end{align*} $$ 需要说明的是，在我们的讨论中我们忽略掉了空气阻力，假设只要重力作用在落石上。也可以考虑空气阻力，但是那样方程(3)会变得很复杂，以至于我们无法解决。不过我们会在后面讨论这个主题。 我们还说明了如果距离单位用$ft$，时间单位用$s$，即$g$的大小为32，那么(6)(7)变为 $$ v=32t\quad and \quad s=16t^2 $$ 从第一个方程可以看出石头的速度以每秒$32\ ft/s$增加，当然这也是加速度的大小。 例2：从高为$320\ ft$的建筑物上向上以初速度为$128\ ft/s$扔石头。写出时间表示的高度函数。找出石头的最大高度。假设石头落向地面，那么从抛出到落地需要多久？落地的瞬间，石头的速度和加速度分别是多少？ 解：我们取原点为地面，正方向朝上的坐标轴(图3)。因为重力是竖直向下的，根据方程(2)，力和加速度有相同的符号，石头的加速度为 $$ \begin{equation} a=\frac{d^2s}{dt^2}=-32\tag8 \end{equation} $$ 对它积分得 $$ v=\frac{ds}{dt}=-32t+c_1 $$ 利用初始条件$v=128\ when \ t=0$得 $$ \begin{equation} v=\frac{ds}{dt}=-32t+128\tag9 \end{equation} $$ 再次积分得 $$ s=-16t^2+128t+c_2 $$ 因为$s=320\ when \ t=0$，所以 $$ \begin{equation} s=-16t^2+128t+320\tag{10} \end{equation} $$ 这就是任何时刻$t$石头离地面的高度函数。 图3

为了找到石头的最大高度，我们将(9)写为以下形式

$$v=-32(t-4)$$

这说明在$t<4$时，速度一直为正，所以石头一直在向上运动。当$t=4$时，速度为零，石头在那一时刻静止。当$t>4$，速度为负，石头开始向下运动。因此最大高度就是$t=4$时刻方程(10)的解。即$s=-16\cdot 16+128\cdot 4+320=-256+512+320=576$。

当$s=0$时，石头到达地面。利用方程(10)得

$$\begin{align*} -16t^2+128t+320&=0\\ -16(t^2-8t-20)&=0\\ (t-10)(t+2)&=0 \end{align*}$$

当$t=10\ or \ t=-2$时，$s=0$。在该环境中第二个结果是没有意义的所以舍弃掉。所以石头抛出$10\ s$后落地。

为了求出落地时石头的速度和加速度，我们将$t=10$代入(9): $v=-32\cdot 10+128=320+128=-192$。那个时刻的速度为$-192\ ft/s$，符号表明石头是向下运动的。速度大小为$|-192|=192\ ft/s$

这些例子中加速度都是重力产生的，所以都是个常数。对于地球表面运动的物体几乎如此。然而，为了研究太空中物体的运动，我们必须了解到，重力是变化的，并且跟物理离地球中心距离的平方反向变化。

例3：假设火箭以初始速度$v_0$垂直向上发射，然后在不消耗任何能量的情况下滑行。那么$v_0$越大，所到达的高度就越高。为了让火箭不停下来从而完全逃离地球引力，需要多大的$v_0$？

解：根据牛顿万有引力定律，宇宙中任何两个物体之间存在引力，这和他们的质量成正比，距离的平方成反比。根据题意(图4),地球吸引火箭的力$F$为

$$F=-G\frac{Mm}{s^2}$$

其中$G$是一个正的常数，$M,m$分别是地球和火箭的质量，$s$是火箭与球心的距离。

图4

根据牛顿第二定律$F=ma$得

$$m\frac{d^2s}{dt^2}=-G\frac{Mm}{s^2}$$

所以

$$\begin{equation} \frac{d^2s}{dt^2}=-\frac{GM}{s^2}\tag{11} \end{equation}$$

这告诉我们火箭额运动不依赖于自身的重量。注意到$s=R$时$d^2s/dt^2=-g$，所以我们用常数替换的得到更加简便的形式

$$-g=-\frac{GM}{R^2}\quad or\quad GM=gR^2$$

因为$d^2s/dt^2=dv/dt$，所以(11)可写为

$$\begin{equation} \frac{dv}{dt}=-\frac{gR^2}{s^2}\tag{12} \end{equation}$$

下一步是利用链式法则消除方程中的$t$

$$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dv}{ds}v$$

方程(12)就变为

$$v\frac{dv}{ds}=-\frac{gR^2}{s^2}$$

分离变量并积分得

$$\int vdv=gR^2\int -\frac{ds}{s^2}$$

或者

$$\begin{equation} \frac{1}{2}v^2=\frac{gR^2}{s}+c\tag{13} \end{equation}$$

为了估计常数$c$，我们用初始条件$v=v_0\ when \ s=R$，所以

$$\frac{1}{2}v_0^2=gR+c$$

故

$$c=\frac{1}{2}v_0^2-gR$$

将其代入(13)得

$$\begin{equation} \frac{1}{2}v^2=\frac{gR^2}{s}+(\frac{1}{2}v_0^2-gR)\tag{14} \end{equation}$$

从(14)得到的结论如下;火箭要想从地球表面逃离，那么$\frac{1}{2}v^2$必须始终为正，如果没有速度，那么火箭将会停止移动然后回到地球上。但是但是右边的第一项，当$s$ 增加时，它将区域零。因此，无论$s$多大，为了保证$\frac{1}{2}v^2$为正，我们必须让$\frac{1}{2}v^2-gR\geq 0$。等价于$v_0^\geq 2gR\ or\ v_0\geq \sqrt{gR}$。$\sqrt{gR}$通常称为地球的逃逸速度。通过近似取$g\cong 32\ ft/s^2,R\cong 4000\ mi$可以很容易的计算出它的值为：

$$\begin{align*} \sqrt{2gR}&\cong\sqrt{2\cdot 32\ ft/s^2\cdot 4000\ mi}\\ &\cong\sqrt{2\cdot 32\cdot \frac{1}{5280}\ mi/s^2\cdot 4000\ mi}\\ &\cong 7\ mi/s\cong 25000\ mi/h \end{align*}$$

注解1：利用例子中的方法，$\sqrt{2g’R’}$可以计算出任何行星，卫星或恒星的逃逸速度，其中$R’,g’$可以看做半径和表面的加速度。如果质量不变而半径减小，那么表面的逃逸速度将增大，为什么？

注解2：大多数恒星由于内部的辐射力保持着气态、膨化态。辐射力是由于内部核燃料的燃烧造成的。当核燃料散发的时候，恒星因为引力坍塌变成几乎质量不变体积变小的球体。减小的质量能够维持两种类型的平衡，这取决于恒星的质量。当质量小于1.3个太阳质量时，是一种类型，如白矮星。当质量介于1.3和2个太阳质量之间时，产生中子星。对于质量更大的，不可能存在平衡，坍塌会继续直到表面的逃逸速度达到光速为止。这种类型的恒星完全看不见，因为没有任何辐射能够逃离。这就是所谓的黑洞。

漫步微积分二十三——重力作用下的运动 逃逸速度和黑洞