漫步微积分6.5 - 极限思想下的面积计算

上篇文章中讨论的概念给出了计算面积的实际过程。现在我们利用一些实例来测试这个过程是如何工作的。

例1：考虑区间$[0,b]$上的函数$y=f(x)=x$。图像(图1)下面的区域是高和底都为$b$的矩形，所以它的面积明显是$b^2/2$。然而，我们需要去证实我们极限过程给出相同的答案，更重要的是，理解立即过程如何给出答案。

图1

$n$是一个正整数，区间$[0,b]$分割成相等的$n$个子区间，得到$n-1$个间断点

$$\begin{equation} x_1=\frac{b}{n},\quad x_2=\frac{2b}{n},\ldots,x_{n-1}=\frac{(n-1)b}{n}\tag1 \end{equation}$$

矩形的底是$\Delta x_k=b/n$，如果我们用图1那样的上部和，那么矩形的高为

$$f(x_1)=\frac{b}{n},\quad f(x_2)=\frac{2b}{n},\ldots,f(x_{n-1})=\frac{(n-1)b}{n}$$

于是我们有

$$\begin{align*} S_n &=\left(\frac{b}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)+\left(\frac{2b}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)+\cdots+\left(\frac{nb}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)\\ &=\frac{b^2}{n^2}(1+2+\cdots+n) \end{align*}$$

利用之前讲过的求和公式，可以写成

$$S_n=\frac{b^2}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{b^2}{2}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n+1}{n}=\frac{b^2}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)$$

所以我们得到

$${\rm {area\ of\ region}}=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{b^2}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{b^2}{2}$$

这就是开始我们得到的。用定积分的符号表示就是

$$\begin{equation} \int_a^bxdx=\frac{b^2}{2}\tag2 \end{equation}$$

在本例中我们选择了相等的子区间及上部和。不代表必须作出这些选择；我们的目的仅仅是为了使计算尽可能容易。

例2：现在考虑区间$[0,b]$上的函数$y=f(x)=x^2$，如图2所示。$n$是一个正整数，区间$[0,b]$分割成相等的$n$个子区间，长度为$\Delta x_k=b/n$。我们继续用上部和$S_n$，所以矩形的高度为

$$f(x_1)=\left(\frac{b}{n}\right)^2,\quad f(x_2)=\left(\frac{2b}{n}\right)^2,\ldots,f(x_{n-1})=\left(\frac{(n-1)b}{n}\right)^2$$

从而得到

$$\begin{align*} S_n &=\left(\frac{b}{n}\right)^2\left(\frac{b}{n}\right)+\left(\frac{2b}{n}\right)^2\left(\frac{b}{n}\right)+\cdots+\left(\frac{nb}{n}\right)^2\left(\frac{b}{n}\right)\\ &=\frac{b^3}{n^3}(1^2+2^2+\cdots+n^2) \end{align*}$$

利用前面文章提到的公式，上式可写为

$$\begin{align*} S_n &=\frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{b^3}{6}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2n+1}{n}\\ &=\frac{b^3}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right) \end{align*}$$

当$n\to\infty$时我们得到

$${\rm {area\ of\ region}}=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{b^3}{3}$$

或等价地

$$\begin{equation} \int_a^bx^2dx=\frac{b^3}{3}\tag3 \end{equation}$$ 图2

用同样的方式我们可以得到$y=f(x)=x^3$的定积分

$$\begin{equation} \int_a^bx^3dx=\frac{b^4}{4}\tag4 \end{equation}$$

很自然地我们根据(2)(3)(4)可以猜想

$$\begin{equation} \int_a^bx^ndx=\frac{b^{n+1}}{n+1}\tag5 \end{equation}$$

它可能对所有正整数$n=1,2,3,\ldots$成立。对于$n=3,4,\ldots,9$的情况，(5)的有效性由意大利数学家Cavalieri在1635年和1647年建立起来，但他费力的几何方法在$n=10$时就很难进行下去。几年以后费马发现了这个美丽的论点，一次就证明了(5)对所有正整数成立。这个论点有点远离我们的这里的主题。

例3：接下来，我们找出余弦曲线$y=\cos x$下的面积，从$x=0$开始到$x=b$，其中$0<b\leq \pi/2$(图3)。$n$是一个正整数，将区间$[0,b]$分割成相等的$n$个子区间，长度为$\Delta x_k=b/n$。这次我们用下部和$s_n$。因为函数是递减的，所以$\bar x_k$是子区间的右端点。连续矩形的高度是

$$\cos\frac{b}{n},\quad\cos\frac{2b}{n},\quad\cdots,\cos\frac{nb}{n}$$

从而

$$s_n=\left(\cos\frac{b}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)+\left(\cos\frac{2b}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)+\cdots+\left(\cos\frac{nb}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{b}{n}\sum_{k=1}^n\cos\frac{kb}{n}$$

为了计算$n\to\infty$时的极限，需要用到下面的计算结果

$$\sum_{k=1}^n\cos kx=\frac{\sin\frac{1}{2}nx\cos\frac{1}{2}(n+1)x}{\sin\frac{1}{2}x}$$

其中$x=b/n$。从而我们得到

$$\begin{align} {\rm {area\ of\ region}} &=\lim_{n\to\infty}s_n\nonumber\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}b\cos\left[\frac{(n+1)b}{2n}\right]}{\sin(b/2n)}\tag6 \end{align}$$

为了计算极限，考虑到余弦函数是连续的，可以看出

$$\cos\left[\frac{(n+1)b}{2n}\right]=\cos\left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{b}{2}\to\cos\frac{b}{2}\quad as\quad n\to \infty$$

接下来，如果选$\theta=b/2n$，那么当$n\to \infty$时，$\theta\to 0$那么

$$\frac{b}{n}\cdot\frac{1}{\sin(b/2n)}=2\cdot\frac{b/2n}{\sin(b/2n)}=2\cdot\frac{\theta}{\sin\theta}\to 2\quad as\quad n\to \infty$$

利用这些事实(6)可写为

$${\rm {area\ of\ region}}=\lim_{n\to\infty}s_n=2\sin\frac{b}{2}\cos\frac{b}{2}=\sin b$$

或者等价地

$$\int_0^b\cos xdx=\sin b$$ 图3

漫步微积分二十八——极限思想下的面积计算