Vector group (1)

已知向量组，证明 B组能由A组线性表示，但A组不能由B组表示。

$$A: a1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, a2=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, a3=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; B: b1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, b2=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, b3=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix};$$ $$R(A,B)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -6 & -1 & 5 & -7 \\ 0 & 2 & -8 & -1 & 7 & -9 \\ 0 & 3 & 2 & 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -6 & -1 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=2$$ $$R(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=2$$

R(A, B) = R(A)
B 能由 A 线性表示

$$R(B,A)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -4 & 1 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=4$$ $$R(B)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=2$$

A 不能由 B 线性表示

已知向量组A、B ，证明A、B等价

$$A: a1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, a2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; B: b1=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, b2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, b2=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix};$$

观察可知 R（A) = 2

$$R(B)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=2$$

R(A) = R(B) = R(A, B) 即A、B等价

问a取什么值时下列向量组线性相关

$$A: a1=\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, a2=\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \end{pmatrix}, a3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{pmatrix};$$

最简形：

$$A: \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a-\frac{1}{a} & -1-\frac{1}{a} \\ 0 & -1-\frac{1}{a} & a-\frac{1}{a} \end{pmatrix}$$

向量组线性相关即 R(A)<3，则有：

$$a-\frac{1}{a}=1+\frac{1}{a} (a+1)(a-2)=0$$

a = -1 或 a = 2

设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求b用a1,a2线性表示的表示式

设 b 可由 $xa_1 + ya_2$表示

因为a1+b,a2+b线性相关, 所以$(x + 1)a_1 + ya_2 = z(xa_1 + (y + 1)a_2)$

$$(x + 1)a_1 + ya_2 = z(xa_1 + (y + 1)a_2)$$

有$\frac{a+1}{zx} = \frac{y}{y+1}$

设 x = c, 有 y = -(1+c), 可得$b = ca_1 - (1+c)a_2$

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https://katex.org/docs/supported.html