导数的概念与运动物体速度的计算密切相关。正是由于这一个事实,在牛顿努力寻找动力学定理并理解行星运动的思考中将微积分作为他基本的工具。看起来似乎只有物理系的学生有必要关注对于速度准确的想法。但是,这些想法对变化率这个广泛概念提供了非常简单的说明,这个概念在其他研究领域也非常重要,包括生物和社会科学。
在本节中,我们考虑速度问题的一个特殊情况:所讨论的对象可以看成沿着一条直行运动的点,所以它的位置由一个坐标(图1) 确定。如果我们知道每一时刻点的位置,那么真个运动轨迹就都已知,也就是说,如果我们知道位置$S$关于时间$t$的函数,
为了方便,$t$的初始值通常从$0$开始。
例1:考虑一个自由落体的物体。或者说一个石头从悬崖边下落,悬崖的高度为400英尺(图2)。已经有许多实验表明$t$内石头下降的距离为
我们可以看出,当$t=5,s=400$时,石头到达地面,用时为5 秒,当$0\leq t\geq 5$时(2)式成立。
(c)我们知道半径为$r$的圆面积$A$为$A=\pi r^2$,这个函数的到数为
该式说明圆面积对于半径的变化率等于它的周长。为了理解几何意义,让$\Delta r$表示半径的增量,$\Delta A$对应面积的增量(图6)。可以清楚的看到$\Delta A$是圆外围窄带的面积,近似等于周长$2\pi r$和窄带长度$\Delta r$的乘积。所以差商$\Delta A/\Delta r$接近$2\pi r$,让$\Delta r\to 0$,我们得到(6)式的几何意义。
本部分介绍了两个主题:速度,运动目标位置的变化率;加速度,速度的变化率。这些都是微积分中很重要的内容。以后会经常讨论到他们。