前面给出的导数定义都依赖于函数极限的概念,我们对极限只做了最简短的解释。现在,我们已经知道了这一概念的目的,接下来关心一下它的意义。
考虑函数$f(x)$,自变量在点$a$的领域内都有定义,但是$a$ 点本身没定义。假设存在一个实数值$L$,当$x$越来越接近$a$时,$f(x)$越来越接近$L$(图1)。对于这种情况我们说$L$是$x$趋近$a$时$f(x)$的极限,用符号表示为
如果不存在这样的实数 $L$,我们说$x$趋近$a$时$f(x)$没有极限,或者$\lim_{x\to a}f(x)$ 不存在。另一种和(1)等价且被广泛使用的符号是
现在考虑(1)式的意义,$x$等于$a$时$f(x)$会如何是没有意义的;而对于$x$接近$a$时的$f(x)$值才是有意义的,理解这一点非常重要。
对于(1)式来说,这些非正式的描述对我们直观的理解非常有利,并且对于实际需求也足够了。然而,作为定义,他们又不严谨也不精确,因为有越来越接近和趋近这样的含糊用语。(1)式的精确意义非常重要,所以我们不能只留给学生去想象。我们尽可能简洁又清晰的给出一个令人满意的定义。接下来的部分,阅读的时候最好比平时更仔细些,及饬令他们自然的不耐烦用什么似乎是过度的挑剔的精度。
首先分析一个具体的实例,希望从中可以提取出通用情况的本质
这里我们必须验证的函数是
这个函数在$x=0$处无定义,除了$x\neq 0$外的所有$x$,化简表达式的
从图2中,我们可以清楚的看到,当$x$趋近于$0$时,$f(x)$ 趋近于$1$。为了给出定量的描述,我们需要$f(x)$与极限值$1$之差的公式:
现在我们从几何角度来证实(3)式。让$P$,$Q$是单位圆上彼此濒临的两个点(图5),让$\overline{PQ}$和$\widehat{PQ}$表示两点的弦长和弧长。那么当两点移动到一起时,弦长比弧长趋近于$1$
对于图中的符号,这个几何陈述等价于
这就是(3)式。
第二个极限是
利用三角恒等式$sin^2\theta+cos^2\theta=1$以及(3)式得:
最后一步用到了当$\theta\to 0$时$sin\theta\to 0$,$cos\theta\to 1$,从图5的$sin\theta$和$cos\theta$几何意义可以很容易证实他们。
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