漫步微积分2.5 - 极限的概念

前面给出的导数定义都依赖于函数极限的概念,我们对极限只做了最简短的解释。现在,我们已经知道了这一概念的目的,接下来关心一下它的意义。

考虑函数$f(x)$,自变量在点$a$的领域内都有定义,但是$a$ 点本身没定义。假设存在一个实数值$L$,当$x$越来越接近$a$时,$f(x)$越来越接近$L$(图1)。对于这种情况我们说$L$是$x$趋近$a$时$f(x)$的极限,用符号表示为

这里写图片描述 图1

如果不存在这样的实数 $L$,我们说$x$趋近$a$时$f(x)$没有极限,或者$\lim_{x\to a}f(x)$ 不存在。另一种和(1)等价且被广泛使用的符号是

现在考虑(1)式的意义,$x$等于$a$时$f(x)$会如何是没有意义的;而对于$x$接近$a$时的$f(x)$值才是有意义的,理解这一点非常重要。

对于(1)式来说,这些非正式的描述对我们直观的理解非常有利,并且对于实际需求也足够了。然而,作为定义,他们又不严谨也不精确,因为有越来越接近和趋近这样的含糊用语。(1)式的精确意义非常重要,所以我们不能只留给学生去想象。我们尽可能简洁又清晰的给出一个令人满意的定义。接下来的部分,阅读的时候最好比平时更仔细些,及饬令他们自然的不耐烦用什么似乎是过度的挑剔的精度。

首先分析一个具体的实例,希望从中可以提取出通用情况的本质

这里我们必须验证的函数是

这个函数在$x=0$处无定义,除了$x\neq 0$外的所有$x$,化简表达式的

从图2中,我们可以清楚的看到,当$x$趋近于$0$时,$f(x)$ 趋近于$1$。为了给出定量的描述,我们需要$f(x)$与极限值$1$之差的公式:

这里写图片描述 图2
从公式中可以看到$f(x)$可以越来越接近$1$,也就是说,当$x$无线靠近$0$时,这个差可以变得任意小。 $$ \begin{eqnarray*} f(x)-1 &=&\frac{1}{100}\ \ \qquad when\qquad x=\frac{1}{200}\\ f(x)-1 &=&\frac{1}{1000}\qquad when\qquad x=\frac{1}{2000} \end{eqnarray*} $$ 更一般的,让$\epsilon$是任意正数,无论多小,定义$\delta$为它的一半$\delta =\frac{1}{2}\epsilon$。那么当$x$和$0$的距离小于$\delta$时,$f(x)$到$1$的距离将小于$\epsilon$;也就是 $$ if\quad |x|<\delta =\frac{1}{2}\epsilon\quad then\quad |f(x)-1|="2|x|<\epsilon" . $$ 这个说法比$x$趋近$0$时$f(x)$趋近$1$的模糊说法更精确。它精确地告诉我们$x$必须接近$0$到什么程度时,才能保证$f(x)$ 靠近$1$的程度。当然,$x$不能等于$0$,因为$x="0$处$f(x)$没意义。" 现在这个$\epsilon -\delta$定义应该很容易掌握了:对于任意一个正数$\epsilon$,存在一个正数$\delta$,使得 |f(x)-l|<\epsilon 其中$x\neq a$,且满足不等式 |x-a|<\delta 换句话说:如果给定一个$\epsilon>0$,那么可以找到这样的一个正数$\delta$,满足当$x$在$a$的$\delta$邻域内时,$f(x)$将在$L$的$\epsilon$邻域内。跟之前一样,我们只关心$x=a$附近的$f(x)$行为,不在乎$x=a$处发生什么。 用函数$y=f(x)$的图像来解释这个想法会更直观一些,如图3。图中,$2\epsilon$是水平带的宽度,它的中心线是$y=L$,$2\delta$是垂直带的宽度,它的中心线是$x=a$,上面的定义可以表达为 对于每条水平带,无论它多窄,存在这样的一条垂直带,如果$x\neq a$限定在垂直带内,那么对应部分限定在水平带内。
这里写图片描述 图3
(1)式的精确定义应该是我们最关注的,并且它在微积分理论中扮演着重要的角色。但是,对于极限直观的理解足够满足我们的实际需要,从这个层面来说,下面的例子现在应该不难解决了。 例1:首先 $$ \lim_{x\to 2}(3x+4)=10 $$ 当$x$趋近$2$时,$3x$趋近$6$,$3x+4$趋近$6+4=10$。下一个 $$ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2 $$ 我们首先注意到函数$(x^2-1)/(x-1)$在$x=1$处没有定义,因为此时分子分母均等于$0$。但是这无关紧要,因为重要的是$x$在$1$附近而不是$1$处的函数行为,所以对所有$x$均可进行消去操作,得到$x+1$,它趋近$2$。 例2:考虑一些极限不存在的函数是非常有启发意义的。例如图4,这些极限行为通过图像都很容易理解。第一种情况,当$x$为正数时,函数等于$1$,当$x$为负数时,函数等于$-1$,在$x=0$处没有定义,所以当$x$趋近$0$时,函数不存在一个确定的数。专业点来说就是极限不存在,记为 $$ \lim_{x\to 0+}\frac{x}{|x|}=1\qquad \lim_{x\to 0-}\frac{x}{|x|}=-1. $$
这里写图片描述 图4
符号$x\to 0+$和$x\to 0-$表明变量$x$分别从正向(右边)和反向(左边)趋近$0$。另外两个极限因为$x$趋近$0$时绝对值任意大所以也不存在极限。用符号表示就是 $$ \lim_{x\to 0+}\frac{1}{x}=\infty ,\quad \lim_{x\to 0-}\frac{1}{x}=-\infty ,\quad \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty. $$ 记住:(1)式中的数$L$必须是实数;$L=\infty$不符合要求。 计算极限的主要规则就是我们期待的那样。例如 $$ \lim_{x\to a}x=a; $$ 如果$c$是常数,那么 $$ \lim_{x\to a}c=c. $$ 还有,如果$\lim_{x\to a}f(x)=L$,$\lim_{x\to a}g(x)=M$,那么 $$ \begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] &=&L+M,\\ \lim_{x\to a}[f(x)-g(x)] &=&L-M,\\ \lim_{x\to a}f(x)g(x) &=&LM,\\ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &=&\frac{L}{M}\quad (M\neq 0). \end{eqnarray*} $$ 也就是说,和的极限是极限的和,差,乘和商同样满足。这些叫做极限法则或者极限定理。 我们之前说过微积分是解决问题的一种技能,不是逻辑的分支。相比于演绎推理,它更多的是处理直观理解带来的方法。当然了,我们将试图让读者相信我们论述的真实性和过程的合法性。然而,为了避免用大量难理解的理论材料充斥文本,我们尽可能简洁,不那么正式的表达。(对于这里陈述的极限性质,相关证明可能以番外的形式给出,至于是否更新,还是看呼声吧,哈哈哈) 在结束本部分主题之前,我们讨论两个具体的三角极限。之后会发现他们非常重要。第一个是 $$ \begin{equation} \lim_{\theta\to 0}\frac{sin\theta}{\theta}\tag2 \end{equation} $$ 注意,这里的$\theta$是弧度。我们不能简单的设$\theta =0$,因为结果将是无意义的等式$0/0$。我们注意到它不同于下面的代数极限, $$ \lim_{x\to 0}\frac{3x^2+2x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(3x+2)}{x}=\lim_{x\to 0}(3x+2)=2 $$ 因为$sin\theta$无法明显的消去$\theta$。为了对(2)式的函数行为有个印象,我们计算几个很小的$\theta$对应的比值。我们注意到,如果用$-\theta$代替$\theta$,我们有 $$ \frac{sin -\theta}{-\theta}=\frac{-sin\theta}{-\theta}=\frac{sin\theta}{\theta} $$ 所以我们只关于正的$\theta$。利用计算器我们得到几个八位小数值(表1)。这些值说明(但不能证明!)
这里写图片描述 表1

现在我们从几何角度来证实(3)式。让$P$,$Q$是单位圆上彼此濒临的两个点(图5),让$\overline{PQ}$和$\widehat{PQ}$表示两点的弦长和弧长。那么当两点移动到一起时,弦长比弧长趋近于$1$

这里写图片描述 图5

对于图中的符号,这个几何陈述等价于

这就是(3)式。

第二个极限是

利用三角恒等式$sin^2\theta+cos^2\theta=1$以及(3)式得:

最后一步用到了当$\theta\to 0$时$sin\theta\to 0$,$cos\theta\to 1$,从图5的$sin\theta$和$cos\theta$几何意义可以很容易证实他们。

漫步微积分六——极限的概念