漫步微积分3.2 - 乘法和除法法则

上篇文章中，我们学习了如何对和函数，差函数和常数乘函数进行求导。现在考虑

$$products\ uv\quad quotions\ \frac{u}{v}.$$

其中$u,v$可以看作对$x$可导的函数。

因为和的导数时导数的和，自然而然我们猜想，乘积的导数可能等于导数的乘积。然而，通过一个简单的例子我们就看出这个猜想不正确。例如，$x^3,x^4$的乘积是$x^7$，所以它的导数是$7x^6$，但是按照猜想得出的导数是$3x^2\cdot 4x^3=12x^5$。这表明我们的初步猜想不正确。而正确的形式比较奇怪。

5乘法法则

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.\tag1 \end{equation}$$

用口头语言来记忆就是：两个函数乘积的导数等于第一项乘以第二项的导数加上第二项乘以第一项的导数。为了证明它，考虑$y=uv$，让$x$有一个小的增量$\Delta x$，那么变量$u,v,y$对应的改变量分别为$\Delta u,\Delta v,\Delta y$

$$\begin{eqnarray*} y+\Delta y &=&(u+\Delta u)(v+\Delta v)=uv+u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v,\\ \Delta y&=&(y+\Delta y)-y=u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v,\\ \frac{\Delta y}{\Delta x}&=&u\frac{\Delta v}{\Delta x}+v\frac{\Delta u}{\Delta x}+\Delta u\frac{\Delta v}{\Delta x}. \end{eqnarray*}$$

取$\Delta x\to 0$时的极限得

$$\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}+0\cdot \frac{dv}{dx}$$

和(1)式相等。这里我们利用了$\Delta x\to 0$时，$\Delta u\to 0$这个事实。这是因为$u$是连续的。

例1：首先用$x^3,x^4$测试公式(1)。

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(x^3\cdot x^4) &=&x^3\frac{d}{dx}x^4+x^4\frac{d}{dx}x^3\\ &=&x^3\cdot 4x^3+x^4\cdot 3x^2=7x^6. \end{eqnarray*}$$

考虑一个更复杂的例子$y=(x^3-4x)(3x^4+2)$：

$$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=&(x^3-4x)\frac{d}{dx}(3x^4+2)+(3x^4+2)\frac{d}{dx}(x^3-4x)\\ &=&(x^3-4x)(12x^3)+(3x^4+2)(3x^2-4)\\ &=&12x^6-48x^4+9x^6-12x^4+6x^2-8\\ &=&21x^6-60x^4+6x^2-8. \end{eqnarray*}$$

注意，我们也可以在开始的时候让两个因子乘开，然后求导。

$$y=3x^7-12x^5+2x^3-8x$$

所以

$$\frac{dy}{dx}=21x^6-60x^4+6x^2-8$$

我们没有利用乘法法则依然结局了问题，似乎法则就没存在的必要的。当因子都是多项式时的确如此，因为两个多项式的乘积依然时多项式。然而，对于更复杂的情况，尤其是因子为不同类型的函数，该法则是必不可少的。

6除法法则

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu/dx-udv/dx}{v^2}\qquad v\neq 0\tag2 \end{equation}$$

大部分人发现操作流程比符号更容易记忆：商的导数就是分母乘以分子的导数减去分子乘以分母的导数，然后除以分母的平方。为了证明它，考虑$y=u/v$，$x$变化量为
$\Delta x$。变量$u,v,y$的变化量为$\Delta u,\Delta v ,\Delta y$。

$$y+\Delta y=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v},\qquad \Delta y=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v},$$ $$\Delta y=\frac{uv+v\Delta u-uv-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}=\frac{v\Delta u-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}$$ $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{v\Delta u/\Delta x-u\Delta v/\Delta x}{v(v+\Delta v)}.$$

取$\Delta x\to 0$的极限，就得到公式(2)

$$\frac{dy}{dx}=\frac{vdu/dx-udv/dx}{v^2}.$$

根据$v$的连续性(回顾：因为$v$可导，所以连续)，当$\Delta x\to 0$时$\Delta v\to 0$。

例2：商$y=(3x^2-2)/(x^2+1)$的导数。

$$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=&\frac{(x^2+1)(d/dx(3x^2-2))-(3x^2-2)(d/dx)(x^2+1)}{(x^2+1)^2}\\ &=&\frac{(x^2+1)(6x)-(3x^2-2)(2x)}{(x^2+1)^2}\\ &=&\frac{6x^3+6x-6x^3+4x}{(x^2+1)^2}=\frac{10x}{(x^2+1)^2}. \end{eqnarray*}$$

除法法则可以扩展到法则2

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\tag3 \end{equation}$$

$n$为负数。为了看出是负数，我们令$n=-m$，其中$m$是正数。现在利用(2)式我们有

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x^n &=&\frac{d}{dx}x^{-m}=\frac{d}{dx}\frac{1}{x^m}=\frac{x^m(0)-1(mx^{m-1})}{(x^m)^2}\\ &=&\frac{-mx^{m-1}}{x^{2m}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}. \end{eqnarray*}$$

因此，

$$\frac{d}{dx}x^{-1}=(-1)x^{-2}=-x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}x^{-2}=(-2)x^{-3}=-2x^{-3},\qquad etc.$$

因为$n=0$时，(3)式依然成立，所有对于所有的实数均成立。

例3：求导

$$y=3x^2-\frac{2}{x^3},$$

可以写为

$$y=3x^2-2x^{-3}$$

那么

$$\frac{dy}{dx}=6x+6x^{-4}$$

可以重写为

$$\frac{dy}{dx}=6x+\frac{6}{x^4}$$

最好记住乘法和除法法则，并通过练习把它深深铭记在脑子里。

漫步微积分九——乘法和除法法则