漫步微积分3.4 - 三角函数求导

目前为止,我们求导的最基本函数是幂函数$x^n$:

所有其他的函数可以通过加,减,乘,除和形成函数的函数构建出来。我们的通用规则可以找出这些组合的导数。现在我们学习如何对基本的三角函数$\sin x,\cos x$求导,从而扩展基本初等代数的工具包:

为了得到这些公式,我们回到函数$f(x)$导数的定义,

我们将定义应用到函数$f(x)=\sin x$,那么

对(3)进行重组得

上面$\sin x,\cos x$的极限运算是常数,用$\theta$代替$\Delta x$,就之前经过的极限一样

利用这个事实,(4)可以写为

也就是(1)式。

对(2)的证明跟它类似

这就证明了(2)。

将(1)、(2)和链式法则结合起来,就得到我们这部分最主要的工具了

其中$u=u(x)$可以看做任何对$x$可导的函数。

例1:$y=\sin(5+4x^3)$,求$dy/dx$。这里$u=5+4x^3$,利用(5)得

例2:$y=\cos(\sin x)$,求$dy/dx$。这里$u=\sin x$,利用(6)(1)得

例3:$y=\sin[(1-x^2)/(1+x^2)]$,求$dy/dx$。这里$u=(1-x^2)/(1+x^2)$,利用(5)和除法法则得

例4:$y=\cos(1+\sin 5x)$,求$dy/dx$。 这里$u=1+\sin 5x$,其中$du/dx$还需要用一次链式法则

这些例子中,链式法则应用到了更广的范围,并不仅仅局限于之前所讲的。

我们需要提醒读者三角函数幂形式的标准符号:通常$\sin^{n}x$表示$(\sin x)^n$。但是$(\sin x)^{-1}$可不能写成$\sin^{-1}x$。因为后者表示反函数。

例5:$y=\cos^57x^2$,求$dy/dx$。 这里令$w=\sin 7x^2$,那么$y=w^5$

之前的文章我们使用的是弧度而不是角度。现在我们解释这么做的原因。$\sin x^o,\cos x^o$表示$x$度角的正弦和余弦值。因为$x$度等于$\pi x/180$弧度,所以

那么

所以

如果我们坚持用度做为角的单位,那么我们只得用上式,而无法使用更简单的(1)。因此,我们使用弧度从而避免计算过程中重复计算因子$\pi/180$

其他四种三角函数可以用$\sin x,\cos x$来表示,他们的导数可以根据定义来计算。他们的定义为

他们分别是正切,余切,正割和余割函数。这些函数在后面的文章中会详细讨论,目前我们只关注正切以及它的导数

为了得到这个式子,我们参考(7)并使用除法法则:

(8)的链式法则为

例6:$y=\tan^5(3x^2+1)$,求$dy/dx$。 这里令$w=\tan(3x^2+1)$,那么$y=w^5$,利用(9)得

漫步微积分十一——三角函数求导