漫步微积分4.5 - 变化率问题

向一个水箱注水，那么水平面将上升。为了描述水平面上升的快慢，我们用水平面变化率或者等价的，深度的变化率。如果水深用$h$表示，$t$表示时间，那么导数$dh/dt$就是深度的变化率。更进一步，水箱中水的体积$V$也在变化，$dV/dt$是体积的变化率。

同样地，任何随时间变化的几何或物理量$Q$是时间函数，即$Q=Q(t)$，它的导数$dQ/dt$是变化率。我们现在考虑的问题基于以下事实：如果两个变化量互相相关，那么他们的变化率也相关。

例1：往球形气球中以恒定的速度$8\ ft^3/min$注入气体。(a)当$r=2\ ft$时，球半径$r$增加的速度；(b)当$r=4\ ft$时，求半径$r$增加的速度。

解：球的体积(图1)公式如下

$\begin{equation} V=\frac{4}{3}\pi r^3\tag1 \end{equation}$

图1
根据问题的陈述我们知道$dV/dt=8$，我们需要两个特定$r$ 值对应的$dr/dt$。我们需要理解问题的背景，即$V,r$ 都是因变量，$t$是潜在的自变量。有了这个想法，很自然想到(1)两边对$t$求导可得到$V,r$的变化率

$\begin{equation} \frac{dV}{dt}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^2\frac{dr}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\tag2 \end{equation}$

其中用到了链式法则。根据$dV/dt=8$，对(2)变形得

$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dV}{dt}=\frac{2}{\pi r^2}$

所以对于情况(a)

$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{2\pi}\cong 0.16\ ft/min$

对于情况(b)

$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{8\pi}\cong 0.04\ ft/min$

这些结果证实了我们的常识。因为球的体积以恒定的速度增加，随着体积的增大，半径增加的会越来越慢。

例2：一个$13\ ft$长的梯子斜靠着墙。梯子的底端以恒定的速度$6\ ft/min$远离墙面。问：当梯子的底部离墙$5\ ft$时，顶部向下移动有多快？

解：第一步是画出图像并标出相关量，注意用字母来表示变化的量(图2)。通过图就能看出哪些是已知的，哪些是未知的：

$\frac{dx}{dt}=6,\quad -\frac{dy}{dt}=? when\ x=5$

图2 这里的负号我们可以这么理解，$dy/dt$表示$y$增加的速率，$-dy/dt$表示$y$减小的速率。粗略地讲，我们知道了一个关于时间的导数，现在想知道另一个。因此我们需要找到连接$x,y$的等式，通过对$t$求导得到连接他们变化率的等式。从图中可以清楚的看到可以应用毕达哥拉斯定理

$\begin{equation} x^2+y^2=169\tag3 \end{equation}$

两边分别对$t$求导得

$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0\quad or\quad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dy}\quad or\quad -\frac{dy}{dt}=\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$

因为$dx/dt=6$，所以

$\begin{equation} -\frac{dy}{dt}=\frac{6x}{y}\tag4 \end{equation}$

利用等式(3)，当$x=5$时，$y=12$，代入(4)得到我们的结果

$-\frac{dy}{dx}=\frac{6\cdot 5}{12}=2\frac{1}{2}\ ft/min$

警告：不要过早的使用$x=5,y=12$。问题的本质是$x,y$为变量；如果早早地使用具体值，如图3，那么我们不可能理解或解决问题。

图3 例3：一个锥形的水箱高为$12\ ft$，最高处的直径为$12\ ft$。水以$4\ ft^3/min$的速度注入水箱中。问：(a)当水深为$2\ ft$时，水面上升的速率是多少；(b)当水深为$8\ ft$时，速率又是多少。

解：跟之前一样，我们画出图像并标注已知和未知量(图4)。下一步是使用这些符号描述已知条件和我们要找的量：

$\frac{dV}{dt}=4,\quad \frac{dx}{dt}=?\ when\ x=2\ and x=8$

水箱中变化的体积$V$是锥形，所以利用锥形体积公式

$\begin{equation} V=\frac{1}{3}\pi y^2x\tag5 \end{equation}$

我们关注的变量是$V,x$，所以我们希望消去$y$。观察图4，利用相似三角形的性质得

$\begin{equation} \frac{y}{x}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\quad or\quad y=\frac{1}{2}x\tag6 \end{equation}$

将它代入(5)得

$\begin{equation} V=\frac{\pi}{12}x^3\tag7 \end{equation}$

现在(7)两边分别对$t$求导得

$\begin{equation} \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4}x^2\frac{dx}{dt}\tag8 \end{equation}$

或者因为$dV/dt=4$

$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{\pi x^2}\frac{dV}{dt}=\frac{16}{\pi x^2}$

这个式子告诉我们，当$x=2$时

$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{\pi}\cong 1.27\ ft/min$

当$x=8$时

$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{4\pi}\cong 0.08\ ft/min$

至此问题解决。

图4 下面总结一下这些例题产生的方法：
求解有关速率问题的策略