漫步微积分4.6 - 牛顿法解方程

考虑三次方程

用正确的方法可能解决这个等式,也就是说,类似于二次公式

是二次方程$ax^2+bx+c=0$的精确解那样,存在一个公式也用基的形式来表示三次方程的解。然而,如果我们想要(1)的数值解,也就是精确几位数,那么更方便的是找找出近似解而不是精确解。更进一步,即便对于2,3,4次的等式有类似于二次公式那样的解,但对于5次或更高次不可能存在这种形式的解。因此,为了求解类似于$x^5-3x^2+9x-11=0$这样的5次方程,我们只能使用近似的方法,因为目前没有其他方法。

回到等式(1),如果用$f(x)$表示$x^3-3x-5$,那么我们可以很容易计算出下面的值:

$f(2)=-3,f(3)=13$表明当$x$从$x=2$到$x=3$之间连续变化时,$f(x)$在-3到13之间连续变化,因此存在$x$值,使得$f(x)=0$。从直觉上感觉很明显,但是给出一个严格的证明确很困难。在这里我们不去证明,而是直接用结论。如果连续函数$f(x)$的两个值$f(a),f(b)$符号相反,那么至少在$a,b$之间至少存在一个值使得$f(x)=0$。这说明(2)式在$x=2,x=3$之间至少存在一个根,我们可以在这之间任取一个作为近似值。$x=2$似乎好一点,因为-3比13更靠近0。

一般来说,假设等式$f(x)=0$有一个近似值$x=x_1$。这个根就是曲线$y=f(x)$通过$x$轴的点,如图1;牛顿方法就是将$x=x_1$点处的切线作为基础来获得更好的近似解$x_2$。从近似解$x=x_1$开始,我们画出点$(x_1,f(x_1))$处的切线。这条线与$x$轴交于点$x=x_2$,从图中看它似乎更好。重复这个过程,用$(x_2,f(x_2))$处的切线得到点$x=x_3$,比$x_2$还好。图1从几何过程解释了这个步骤,但是为了用于计算,我们需要具体的公式。推导如下。

第一条切线的斜率为$f’(x_1)$。考虑由点$(x_2,0),(x_1,f(x_1)$确定的直线,其斜率也是

根据等式可得

所以

由此有了第一个近似值$x_1$,那么根据(2)可以得到第二个近似值;再由第二个可以得到第三个

如此进行下去直到无定义为止。

这里写图片描述 图1
例1:应用此方法到公式(1)得 $$ \begin{eqnarray*} &f(x)=x^3-3x-5,\quad f'(x)=3x^2-3,\quad x_1=2\\ &f(x_1)=-3,\quad f'(x_1)=9,\quad x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=2-\frac{-3}{9}=2\frac{1}{3} \end{eqnarray*} $$ 将$x_2$表示成小数形式$x_2=2.333333$,精确六位数,继续计算得 $$ x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=2.333333-\frac{0.703699}{13.333329}=2.280556 $$ 四舍五入到了第六位小数。因为计算负担都给了计算器,计算器计算很方便,所以我们继续进行下去。当连续的两个近似值第一次出现相等时,我们认为得到了精确解。因此,对于等式(1),两次计算后得到$x_3=2.280556$。就像重复计算得 $$ \begin{eqnarray*} &x_4=2.279020\\ &x_5=2.279019\\ &x_6=2.279019 \end{eqnarray*} $$ 由此我们得出结论$x=2.279019$是等式(1)精确六位小数的解。 牛顿法对于像(1)那样多项式的解没有限制条件,也可以用于任何可导函数。 例2:考虑等式 $$ \begin{equation} x=\cos x\tag3 \end{equation} $$ 右边的$x$单位是弧度。最好先在同一坐标内画出$y=x,y=\cos x$ 两个函数的图像,如图2。从图中很容易看出他们交点只有一个,点的$x$坐标就是(3)的解,因为交点处$y$值是相等的。通过图像,先给出一个近似解: $$ x_1=0.7 $$
这里写图片描述 图2
为了使用牛顿法,我们将(3)式改为 $$ x-\cos x=0 $$ 令$f(x)=x-\cos x$,则$f'(x)=1+\sin x$。现在,将计算器设置为弧度模式,得 $$ \begin{eqnarray*} x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=0.739436\\ x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=0.739085\\ x_4=x_3-\frac{f(x_3)}{f'(x_3)}=0.739085 \end{eqnarray*} $$ 精确六位小数得到的解为$x=0.739085$ 注解:在某些情况下,牛顿法产生的近似结果可能无法收敛到希望的解。例如,图3所示的函数$x_1$推到$x_2$,$x_2$推回到$x_1$,所以重复此过程不会求解到$r$。对于保证牛顿法可行的条件的数学理论可以参考数值分析的书籍。
这里写图片描述 图3

漫步微积分十九——牛顿法解方程