考虑三次方程
用正确的方法可能解决这个等式,也就是说,类似于二次公式
是二次方程$ax^2+bx+c=0$的精确解那样,存在一个公式也用基的形式来表示三次方程的解。然而,如果我们想要(1)的数值解,也就是精确几位数,那么更方便的是找找出近似解而不是精确解。更进一步,即便对于2,3,4次的等式有类似于二次公式那样的解,但对于5次或更高次不可能存在这种形式的解。因此,为了求解类似于$x^5-3x^2+9x-11=0$这样的5次方程,我们只能使用近似的方法,因为目前没有其他方法。
回到等式(1),如果用$f(x)$表示$x^3-3x-5$,那么我们可以很容易计算出下面的值:
$f(2)=-3,f(3)=13$表明当$x$从$x=2$到$x=3$之间连续变化时,$f(x)$在-3到13之间连续变化,因此存在$x$值,使得$f(x)=0$。从直觉上感觉很明显,但是给出一个严格的证明确很困难。在这里我们不去证明,而是直接用结论。如果连续函数$f(x)$的两个值$f(a),f(b)$符号相反,那么至少在$a,b$之间至少存在一个值使得$f(x)=0$。这说明(2)式在$x=2,x=3$之间至少存在一个根,我们可以在这之间任取一个作为近似值。$x=2$似乎好一点,因为-3比13更靠近0。
一般来说,假设等式$f(x)=0$有一个近似值$x=x_1$。这个根就是曲线$y=f(x)$通过$x$轴的点,如图1;牛顿方法就是将$x=x_1$点处的切线作为基础来获得更好的近似解$x_2$。从近似解$x=x_1$开始,我们画出点$(x_1,f(x_1))$处的切线。这条线与$x$轴交于点$x=x_2$,从图中看它似乎更好。重复这个过程,用$(x_2,f(x_2))$处的切线得到点$x=x_3$,比$x_2$还好。图1从几何过程解释了这个步骤,但是为了用于计算,我们需要具体的公式。推导如下。
第一条切线的斜率为$f’(x_1)$。考虑由点$(x_2,0),(x_1,f(x_1)$确定的直线,其斜率也是
根据等式可得
所以
由此有了第一个近似值$x_1$,那么根据(2)可以得到第二个近似值;再由第二个可以得到第三个
如此进行下去直到无定义为止。