每个矩形和三角形都和一个称为面积的数相关。矩形的面积定义为它的高和底之积,三角形的面积是高和底乘积的一半(图1)。因为多边形总可以分解成三角形(图2),其面积就是这些三角形面积的总和。
圆是比较困难的图形。希腊人找到一种非常自然的方式解决它的问题。第一,他们用一个内接正方形来近似圆的面积(图3)。然后他们逐渐增加边的数目,由正八边形加倍边数就是正十六边形,等等。这些内接多边形的面积显然越来越接近圆的精确面积。这种想法得出大家熟悉的公式
圆的面积$A$用半径$r$的形式来表示。推理的细节如下。假设圆内接一个正多边形(图4)。图中每个小的等腰三角形面积是$\frac{1}{2}hb$,这些面积的总和等于多边形面积,它非常接近圆的面积。如果$p$表示多边形的周长,那么我们将看到
现在让$c$表示圆的周长,那么根据$\pi$的定义($\pi$的定义是周长与直径的比,即$\pi=c/2r$)得$c=2\pi r$。随着多边形边的增加,$h$趋近于$r$(用符号表示就是$h\to r$),$p\to c$,从而
得到$(1)$。短语逼近法非常形象地描述了这个过程,因为圆的面积就是由内接多边形逼近出来的。