漫步微积分6.7 - 定积分的性质

代数和几何面积

在前面的章节我们考虑了曲线$y=f(x)$下方和$x=a,x-b$之间围成区域的面积，还有两个假设分别是$(1)f(x)\geq 0;(2)a<b$。然而通过逼近和的极限来定义定积分的公式即

$$\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=\lim_{ {\rm max\ \Delta x_k}\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k^*)\Delta x_k\tag1 \end{equation}$$

不依赖于这两个假设。

例如，假设曲线位于$x$轴下方，如图1左边所示。在这种情况下，我们会质疑说曲线下边的区域，但我们肯定可以用曲线，$x$轴在$x=a,x=b$围成的区域来描述他。(1)中的每一项显然是负的因为$f(x_k^)<0$。因此，$f(x_k^)<0\Delta x_k$是阴影矩形面积负值，该区域面积的积分是负值，因此

$${\rm{area\ of\ the\ region}}=-\int_a^bf(x)dx$$

同样，如果曲线部分在$x$轴上部，部分在下部，如图1右所示，那么积分(1)可以看做正项和负项的和，对应与$x$轴上面和下面的部分：

$$\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=A_1-A_2+A_3-A_4\tag2 \end{equation}$$

其中面积$A_1,A_2,A_3,A_4$都是正的。积分(2)经常称作区域的代数面积，因为在计算面积是，位于$x$轴上方的取正，位于下方的取负。如果每部分都取正数的话，得到的是几何面积：

$$\begin{equation} A_1+A_2+A_3+A_4=\int_a^c-\int_c^d+\int_d^e-\int_e^b\tag3 \end{equation}$$

为了求出几何面积，我们必须画出图像，得到交点然后分别计算(3)右边的每个积分，这样的话就能得到正确的符号组合。

图1

其他性质

如果我们去掉条件$ab$，我们仍然可以保留定积分的纯数字定义(l)。因为我们从$a$到$b$遍历区间，所以增量$\Delta x_k^*$为负，这是唯一的变化。由此得到方程

$$\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx\tag4 \end{equation}$$

对于所有的$a,b(a\neq b)$都是成立的。另外，因为(4)表明交换积分的上下限会改变积分的符号，所以很自然得出

$$\begin{equation} \int_a^af(x)dx=0\tag5 \end{equation}$$

如果$a<b$，$c$是$a,b$间的任何一个数，根据(1)很容易得到

$$\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\tag6 \end{equation}$$

性质(4)(5)告诉我们(6)对任意的三个数$a,b,c$都成立，不管他们互相之间是否存在关系。

根据定义(1)，我们进一步列出了一些定积分的性质：

$$\begin{align} \int_a^bcf(x)dx&=c\int_a^bf(x)dx\tag7\\ \int_a^b[f(x)+g(x)]dx&=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx\tag8\\ {\rm if\ }f(x)\leq g(x)\ on\ [a,b],\quad &{\rm then}\quad \int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx\tag9 \end{align}$$

换句话说，性质(7)表示常数因子可以移到积分符号外边，(8)表示和的积分等于单个积分的和。

变积分限

在书写定积分时，我们将$x$作为积分变量

$$\begin{equation} \int_a^bf(x)dx\tag{10} \end{equation}$$

然而，(10)是一个固定的数，其值并不取决于用哪个字母来表示变量。除了(10)，我们同样可以写为

$$\int_a^bf(t)dt\quad \int_a^bf(u)du$$

或任何类似的表达式，其意义都是一样的。用这种方式表示的字母通常被称为虚拟变量。

在大多数情况下，使用什么字母都无所谓，只要想法理解清楚就行。然而，有时我们想要通过积分给定的函数$f(x)$来构建一个新函数$F(x)$，积分下限为$a$，上限是一个变量，如下所示

$$\begin{equation} F(x)=\int_a^xf(x)dx\tag{11} \end{equation}$$

很明显这种用法可能会造成混淆，因为右边的字母$x$有两种不同的含义：积分上限，虚拟变量。为此，习惯上，我们将(11)写成以下形式

$$\begin{equation} F(x)=\int_a^xf(t)dt\tag{12} \end{equation}$$

将$t$作为虚拟变量代替$x$

(12)定义的函数$F(x)$具有两个重要的性质。首先，只要被积函数是在$a,x$区间上是连续的，那么积分肯定存在。第二，此函数的导数是被积函数上限的值：

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)\tag{13} \end{equation}$$

对于任何给定的连续函数$f(x)$，为了找出不定积分，它提供了令人满意的理论解。作为一个实际的问题，可能很难(甚至是不可能)用任何熟悉的函数来计算

$$\int f(x)dx=F(x)$$

但是，即使我们找不到$F(x)$的公式，至少我们知道，原则上连续函数的不定积分总是存在的，即(12)定义的函数。

例1：找出下面不定积分问题的一个显式公式

$$\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{10}+1}}=F(x)$$

现在我们无法解决，并且将永远无法解决。然而，如果我们不需要一个显式公式，而只是一个定义良好的函数，那么

$$F(x)=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt[3]{t^{10}+1}}$$

就满足条件。

例2：让我们试着计算

$$\frac{d}{dx}\left(\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}\right)$$

目前这个阶段，我们无法找出一个可导的函数来表示括号内的积分。但这并不重要。根据(13)，我们立即得到

$$\frac{d}{dx}\left(\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}\right)=\frac{1}{1+x^2}$$

因此在求导可以解决的时候下，没必要一定先求积分。

漫步微积分三十——定积分的性质