前面的文章中，我们完成了两个主要目的。首先，我们将面积近似为给定曲线下的面积，并利用他们和的极限求出确切的面积值。第二，通过使用更强大的方法微积分基本定理，我们学会了如何计算极限的数值解。几乎前几篇文章的整个内容可以被压缩成下面的命题：如果$f(x)$在$[a,b]$上是连续的，那么
其中$F(x)$是$f(x)$的任何一个不定积分。
在几何和物理中有许多其他量本质上可以用相同的方法来处理，例如体积、弧长、表面积和一些基本物理量。每种情况的处理过程都是相同的：独立变量的区间被划分成小的子区间，求解量用某种对应的和来近似，这些和的极限用定积分的形式得到确切值，它可以用基本定理来评估。
在求解曲线下面积的过程中，我们已经知道了极限和的细节，这就是前面文章讲到的。我们没有必要对所有遇到的量都考虑这些细节。所需要的符号既复杂又重复，阻碍了我们对它的直观理解。
本着这种精神，我们将其简化为图1的形式，并用简单与直观的方式来重建(1)中定积分的定义。我们认为曲线下的面积是由许多细长的垂直矩形组成的。在图中，典型的就是高为$y$宽为$dx$的窄带，因此面积为
其中$y=f(x)$。这个面积叫做面积的微分单元，或者简称为面积的单元；它可以是区域的任何一个位置，只要确保$x$是$a,b$ 之间的值即可。现在我们将区域面积$A$看做这些面积单元$dA$的总和。这个加法用符号表示就是
因为面积单元穿过了$a$到$b$的所有区域，我们可以将(3)表示成更准确的形式
(4)中的最后一步我们得到了定积分，此时写出积分变量和积分极限。用这种方式我们省掉了繁琐的细节，直接得到面积的定积分，而且一点都不用考虑和的极限。
从这个角度来看，积分就是一个数值，我们可以将它分成很多个方便的小块，然后再将他们全部加起来即可。这就是积分过程的直观莱布尼茨方法，我们将在下篇文章中详细说明和加强对它的理解。