漫步微积分7.3 - 体积计算：圆盘法

在$x=a,x=b$之间的曲线$y=f(x)$绕$x$轴旋转产生一个区域，这是一个三维图像。这种对称形状的面积相对比较容易计算。

这种情况如图1所示。左边是我们展示了区域本身以及底在$x$轴上宽为$dx$的摘窄带。当该区域绕$x$轴旋转时，这条窄带生成了薄的圆盘，形如一枚硬币如图右边所示，它的半径是$y=f(x)$厚度为$dx$。此圆盘的体积是我们体积$dV$的元素。因为圆盘是一个圆柱体，所以它的体积是圆盘表面积乘以厚度，

$$\begin{equation} dV=\pi y^2dx=\pi f(x)^2dx\tag1 \end{equation}$$

现在我们想象固体充满了许多这样的圆盘，这样的话，总体积就是从左到右所有体积元素的总和，也就是说，随着$x$从$a$增加到$b$：

$$\begin{equation} V=\int dV=\int \pi y^2dx=\int_a^b\pi f(x)^2dx\tag2 \end{equation}$$

这是另一个我们不该记住的基本公式。相反，最好能更好地理解它，这样的话记忆就没必要了。

图1

有些学生可能觉得公式(2)不能给的体积的确切解，因为它没有考虑圆盘外围“ 剥皮”的体积。然而，正如面积计算一样，随着一系列的极限过程，图中轻微的视觉错误(因为我们使用的是可见的圆盘而不是实际切片)将会消失。因此，我们可以计算出使用公式(2)计算体积，并且完全相信我们的结果是正确的，不只是近似值。

例1：一个球体可以看做是一个半圆绕其直径旋转得到的(图2)。如果半圆的方程是$x^2+y^2=a^2,y\geq 0$，那么$y=\sqrt{a^2-x^2}$并且体积元为

$$dV=\pi y^2dx=\pi (a^2-x^2)dx$$

利用圆球体左右两边对称的性质，我们可以计算$x=0$到$x=a$之间的积分，然后乘以2即可：

$$\begin{align} V=2\int_0^a\pi(a^2-x^2)dx &=2\pi(a^2x-\frac{1}{3}x^3)\big|_0^a\nonumber\\ &=\frac{4}{3}\pi a^3\tag3 \end{align}$$

这个公式证实了众所周知的初等几何知识。如果我们只积分$x=a-h$到$x=a$区间，那么我们得到是厚度为$h$的部分球的体积

$$\begin{align*} V=\int_{a-h}^a\pi(a^2-x^2)dx &=\pi(a^2x-\frac{1}{3}x^3)\big|_{a-h}^a\\ &=\pi\{\frac{2}{3}a^3-[a^2(a-h)-\frac{1}{3}(a-h)^3]\}\\ &=\pi h^2(a-\frac{1}{3}h) \end{align*}$$

利用一些代数化简，我们可以看到这个公式在$h=2a$时可以化成(3)。

图2

例2：初等几何的另一个重要公式指出高为$h$，底部半径为$r$的圆锥体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$；或等价地，它是圆柱体积的三分之一。为了用积分获得此公式，进而理解因子$\frac{1}{3}$的来源，我们将圆锥看做第一象限里的直角三角形旋转得到的，如图3所示。直角三角形的斜边显然是直线$y=(r/h)x$的一部分，所以体积元为是：

$$dV=\pi y^2dx=\frac{\pi r^2}{h^2}x^2dx$$

现在我们从$x=0$到$x=h$积分$dV$得到总体积：

$$\begin{equation} V=\int_0^h\frac{\pi r^2}{h^2}x^2dx=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{1}{3}x^3\Big|_0^h=\frac{1}{3}\pi r^2h\tag4 \end{equation}$$ 图3

显然，这些例子的方法通常称为圆盘法。同样的想法可以应用于其他类型的固体，体积元不一定必须是圆盘。假设垂直于某条线的截面都是一个三角形或正方形或一些其他很容易找到的几何图形。那么我们的体积元$dV$是薄片面积和厚度的乘积，我们可以通过移动切片法来计算固体的总体积，如图4所示那样：

$$dV=A(x)dx\qquad V=\int dV=\int_a^bA(x)dx$$ 图4

例3：对于一个圆柱体，用一个平面(过圆柱底的直径且倾角为45)去切它得到一个楔形。为了找到这个楔形的体积，我们首先画出图像(图5)。如图所示，垂直于楔边的切片是一个三角形。如果用符号表示的话，我们将看到切片的体积是

$$\begin{align*} dV &=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-y^2}\cdot \sqrt{a^2-y^2}dy\\ &=\frac{1}{2}(a^2-y^2)dy \end{align*}$$

所以楔形的体积是

$$\begin{align*} V &=2\int_0^a\frac{1}{2}(a^2-y^2)dy=a^2y-\frac{1}{3}y^3\Big|_0^a\\ &=\frac{2}{3}a^3 \end{align*}$$ 图5

平行于楔边的垂直切片显然是一个矩形(读者自己画图试试看)。如果$x$ 是从边到切片的距离，那么仔细考虑后，我们可以看到这一次的体积元是：

$$dV=2x\sqrt{a^2-x^2}dx$$

因此

$$\begin{align*} V &=\int_0^a2x(a^2-x^2)dx\\ &=-\frac{2}{3}(a^2-x^2)^{3/2}\Big|_0^a=\frac{2}{3}a^3 \end{align*}$$

跟之前的结果一样。

注解1：对许多问题，下面变种的圆盘方法比较有用且很有必要。假设绕轴旋转的窄带被该轴分开了一定的距离，如图6左边所示。这种情况下，窄带生成的体积元在内部有一个洞-可以用垫圈来描述。这个垫圈的体积是圆盘的体积减去洞的体积

$$dV=\pi(y_1^2-y_2^2)dx$$

所以整个体积为

$$V=\int dV=\int_a^b\pi(y_1^2-y_2^2)dx$$

其中$y_1,y_2$是垫圈外部和内部的半径，根据问题给出的条件，可以用$x$的函数确定他们。计算这种体积的方法自然称为垫圈法。它适用于内部有空心的物体。

图6

注解2：例1和例2中获得的公式表示很生动，但将圆锥体与球体体积作为外接圆柱体(图7)体积的一部分将会更加容易记忆。

图7

注解3：球体的体积公式(3)是由公元前三世纪的阿基米德发现的，因为他用了非常美丽和巧妙的积分形式，所以我会以番外的形式给出他的论点。

漫步微积分三十三——体积计算：圆盘法