声明：单变量微积分的内容到这里就结束了，衷心希望可以帮到大家，再次谢谢大家的支持。
前面的文章中我们已经看到如何使用积分来解决几何和基本物理中产生的问题。
本节，我们简短介绍一下流体静力学，它主要关注液体的行为，尤其是，我们计算一个开口容器内部的水向外的作用力。我们可以考虑任何容器，可以是一个很小的鱼缸，也可是巨型大坝水库。之所以将它，是因为它更好的解释了前几篇文章的主题(将要计算的量划分为许多方便的小块，然后添加计算也就是积分得到要计算的量)。
有一个底面是矩形的盒子，里面的水深为$h$(图1)，那么底部受到向下的力等于盒内水的重量。如果$A$是底部的面积，那么由公式给出
其中$w$是水的质量密度，近似为$62.5\ lb/ft^3$或者$\frac{1}{32}ton/ft^3$。很明显(1)中的度量单位需要兼容。我们用$feet$度量$h$，$square\ feet$度量$A$，$pounds$或者$tons\ per-\ cubic\ foot$度量$w$。那么力$F$就是$pounds\ or\ tons$。
首先提一个常识，在移动的对象上施加一个发力，如举起一块很沉的石头，我们感觉需要很大的力气或做功。在我们定义物理上功的概念之前，我们深信移动相同的距离，举起20磅的石头所做的功是l0磅的两倍，并且俱到3英尺所做的功是1 英尺的三倍。这些想法给出了我们基本的定义：如果恒力$F$作用的距离为$d$，那么这个过程中完成的功为力和它作用距离的乘积
或者
弧是介于曲线上两个特定点$A$和点$B$之间的一部分，如图1 左边所示。物理上，弧长是一个非常简单的概念。数学上，它是稍微有点复杂。从物理观点看，我们只是折弯了一根绳子来拟合从$A$到$B$的曲线，标记下对应的点$A$和$B$，将绳子伸直然后用尺子量出长度。
这一过程可以用如下的逼近过程(适合于数学处理)来解决。弧$AB$用点$P_0=A,P_1,P-2,\ldots,P_n=B$分成$n$部分；将针放在这些点上；让该线段沿着这些一个个短针得到的路径延伸。我们在图1右边用$n=3$的情况说明了这个想法。$A,B$之间的长度明显短于弧长，因为两个点之间直线最短。然而，如果我们采取更大的$n$值，同时要求针之间放置的足够近，那么线的长度应该接近弧的长度。我们现在用数学语言表达它并推导出用积分计算弧长的实用方法。
还有一种去体积的方法，往往它比上篇文章的方法更加方便。
为了理解这种方法，考虑图1左边所示的区域，也就是，第一象限数轴和所示示曲线$y=f(x)$围成的区域。如果这个区域绕$x$轴旋转，那么图中的垂直窄带生成一个圆盘，我们能够从$x=0$到$x=b$区间上积分这些圆盘的体积得到总体积。当然，这是上篇文章中描述的圆盘法。然而，如果区域绕$y$轴旋转，就像图中间的那样，那么我们获得完全不同的物体，垂直窄带产生了很薄的圆柱壳。这个壳可以看做一个罐头，只是其顶部和底部已被去掉，或者很薄的纸板。其体积$dV$本质上是内圆柱表面积$(2\pi xy)$乘以厚度$(dx)$，所以
假设我们给出了两条曲线$y=f(x),yg(x)$，如图1所示，在$x=a,b$处有交点并且在区间$[a,b]$内第一条曲线位于第二条的上方，为了求出曲线之间的面积，很自然地想法是使用如图所示垂直的细条。在$x$处的高度为低点的曲线与高点之间的距离$f(x)-g(x)$，其底是$dx$。因此，面积的单元是
总面积为
在$x=a,x=b$之间的曲线$y=f(x)$绕$x$轴旋转产生一个区域，这是一个三维图像。这种对称形状的面积相对比较容易计算。
这种情况如图1所示。左边是我们展示了区域本身以及底在$x$轴上宽为$dx$的摘窄带。当该区域绕$x$轴旋转时，这条窄带生成了薄的圆盘，形如一枚硬币如图右边所示，它的半径是$y=f(x)$厚度为$dx$。此圆盘的体积是我们体积$dV$的元素。因为圆盘是一个圆柱体，所以它的体积是圆盘表面积乘以厚度，
前面的文章中，我们完成了两个主要目的。首先，我们将面积近似为给定曲线下的面积，并利用他们和的极限求出确切的面积值。第二，通过使用更强大的方法微积分基本定理，我们学会了如何计算极限的数值解。几乎前几篇文章的整个内容可以被压缩成下面的命题：如果$f(x)$在$[a,b]$上是连续的，那么