上篇文章中讨论的概念给出了计算面积的实际过程。现在我们利用一些实例来测试这个过程是如何工作的。

例1：考虑区间$[0,b]$上的函数$y=f(x)=x$。图像(图1)下面的区域是高和底都为$b$的矩形，所以它的面积明显是$b^2/2$。然而，我们需要去证实我们极限过程给出相同的答案，更重要的是，理解立即过程如何给出答案。

图1

我们继续讨论我们要解决的问题。$y=f(x)$是定义在闭区间$a\leq x\leq b$上的非负函数，如图1所示。我们如何计算阴影部分(即图像下方，$x$轴上方以及垂直直线$x=a,x=b$共同围成的部分)面积呢？

图1}

为了理清定积分，我们首先介绍一个标准的数学符号，它用于缩写长的求和公式。这就所谓sigma符号，用希腊字母$\Sigma$表示。在希腊字母表中，字母$\Sigma$对应于英语字母的$S$，也就是sum的第一个字母。这可以帮助我们记住这个符号，提示我们是和或加运算。

如果给定一些数$a_1,a_2,\ldots ,a_n $，他们的和表示为

$$\begin{equation} \sum_{k=1}^{n}a_k\tag1 \end{equation}$$

每个矩形和三角形都和一个称为面积的数相关。矩形的面积定义为它的高和底之积，三角形的面积是高和底乘积的一半(图1)。因为多边形总可以分解成三角形(图2)，其面积就是这些三角形面积的总和。

图1 图2

在之前的文章中我们提到过，微积分就是与曲线有关的两种计算方法即

1. 曲线上切线的斜率
2. 曲线围成的面积
   当然，这将主题描述的过于简单，因为它强调微积分作为几何的工具，没有说它在科学研究中起着不可或缺的作用。然而，它解释了传统微积分可以划分为两个截然不同的部分：微分学(处理切线的斜率)和积分学(处理面积)。

古希腊人对面积问题非常感兴趣。他们知道如何计算三角形、圆和相关图形的面积，但是任何其他图形是一个新问题。阿基米德应用一种叫做逼近的方法来计算一段抛物线的面积以及其他几个几何量。但近2000年来由阿基米德这个天才自己创造出来的计算法其他人都是无法比拟的。然而，由十七世纪中叶几个欧洲思想家(特别是费马和帕斯卡)开始推动阿基米德留下的逼近法。之后的牛顿和莱布尼兹取得了决定性的突破，他们表明，可以用逼近法计算的量，那么很容易通过使用反导来计算。这一重要发现被称为微积分基本定理。它将主题的两部分结合起来，并且无疑是(正如我们以前说过的)整个数学中最重要的一个事实。

下面的几篇文章我将遵循这个路径。计算似乎在我们的工作中是比较突出的部分，但是实际上，牢牢记住基本的思想比计算方法更加重要。

漫步微积分二十四——定积分引言

微积分发展的许多原始灵感来自于力学，这两个主题到今天为止一直是不可分割的。力学建立在牛顿提出的基本原则上。这些原则的陈述需要导数的概念，在本文我们会看到这些应用依赖于积分和微分方程的解。

直线运动是沿着一条直线的运动，与之相对应，沿着曲线的运动有时称为曲线运动。我们目前是研究单个微粒的直线运动，也就是说，将质量为$m$的物体想象成一个点。在讨论物理对象的运动时，例如汽车，子弹，落石等，我们经常忽略对象的大小和形状，将它看成一个质点。

质点的位置完全取决于坐标系的选择(图1)。因为质点移动，$s$是时间$t$的函数，为了测量初始时间为$t=0$。用符号表示就是$s=s(t)$。正如前面文章所讨论的，质点的速度是位置的变化率

我们已经明白等式

$$\begin{equation} \int f(x)dx=F(x)\tag1 \end{equation}$$

等价于

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}F(x)=f(x)\tag2 \end{equation}$$

这个命题可以从两个角度解释。

如果$y=F(x)$是导数已知的函数，例如

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}F(x)=2x\tag1 \end{equation}$$

我们能够知道函数$F(x)$？不需要多想我们就能写出符合要求的函数，即$F(x)=x^2$。更进一步，添加一个常数不会改变导数结果，所以下面的所有函数

$$x^2+1,\quad x^2-\sqrt{3},\quad x^2+5\pi$$

或者更一般地

$$x^2+c$$

其中$c$是常数，都会满足性质(1)。还存在其他的答案吗？答案是没有了。

前面的文章主要关注切线问题，即给定一条曲线，找出它切线的斜率；或者等价地，给定一个函数，求它的导数。

除了全面研究导数外，牛顿和莱布尼兹还发现，几何和物理中许多问题需要求导的逆过程。有时叫做切线问题的逆问题：给定函数的导数，找出函数本身。

之后的文章，我们会用到许多之前学到的求导规则。但是，这些规则都反过来用，由此产生了多项式积分。这些过程虽然简单，但是有许多非凡的应用，之后的文章会详细进行讨论。

考虑三次方程

$$\begin{equation} x^3-3x-5=0\tag1 \end{equation}$$

用正确的方法可能解决这个等式，也就是说，类似于二次公式