向一个水箱注水，那么水平面将上升。为了描述水平面上升的快慢，我们用水平面变化率或者等价的，深度的变化率。如果水深用$h$表示，$t$表示时间，那么导数$dh/dt$就是深度的变化率。更进一步，水箱中水的体积$V$也在变化，$dV/dt$是体积的变化率。

同样地，任何随时间变化的几何或物理量$Q$是时间函数，即$Q=Q(t)$，它的导数$dQ/dt$是变化率。我们现在考虑的问题基于以下事实：如果两个变化量互相相关，那么他们的变化率也相关。

我们用其他的例子继续讨论上一篇文章的基本方法。

例1：圆柱形汤罐头的制造商接了一笔大订单，订单要求罐头的体积为$V_0$。哪种尺寸可以最小化罐头的表面积，也就是所需的金属最少？

解：$r,h$分别表示圆柱底的半径和高(图1，左)，那么体积为

$$\begin{equation} V_0=\pi r^2h\tag1 \end{equation}$$

总的表面积为

$$\begin{equation} A=2\pi r^2+2\pi rh\tag2 \end{equation}$$

微积分最引人注目的应用就是寻找函数的最大或最小值或者需要用到最大和最小值。

日常生活充满了这样的问题，数学家和其他人觉得它们很有趣也非常重要。一个商人旨在使利润最大化和成本最小化。工程师设计的新汽车希望其效率最大化。航空公司飞行员希望减少飞行时间和燃料消耗。在科学中，我们经常发现自然以某种方式在最大化或最小化某一量。例如，一缕光线穿过透镜，总是沿着时间最短的那条路径。挂链最终的形状其重力势能最小。

图像有个最显著的特征，就是它弯曲的朝向。图1的左边，曲线是凹的，右边是凸的。二阶导的符号可以向我们提供凹凸信息。

图1

本篇将会看到，我们学习到的计算导数的用武之地。

我们第一个应用是导数作为曲线切线斜率的解释。通过这个应用，我们可以快速发现函数最重要的特征并描绘出它的图像。在物理科学中画图是最基本的要求。在经济、生物和心理学的研究中，微积分也是一项最有用的技能之一。

如果$x$轴的某个区间上$x_1f(x_2)$，那么函数$f(x)$是减函数(图像下降)。如图1 所示。

图1

第一次接触”驼”语言，它的正则确实很强。

模式

Perl的正则表达式的三种形式，分别是匹配，替换和转化:

• 匹配：m//（还可以简写为//，略去m）
• 替换：s///
• 转化：tr///

这里的 / 是界定符，并不是固定的，比如有表达式正好出现/，那界定符可改为 #或其他字符。
这个规则在 sed 里也适用，例如：sed 's#hello#world#' hello.txt

• =~ 表示相匹配
• !~ 表示不匹配

$y=x^4$的导数是$y’=4x^3$。但是$4x^3$依然可导，$12x^2$。用$y’’$表示，叫做原函数的二阶导。对二阶导$y’’=12x^2$求导得到三阶导$y’’’=24x$，一直这样做知道没有定义为止。对于高阶导，有些符号是共用的，我们都应该熟悉他们。对函数$u=f(x)$逐次求导得

$$\begin{equation} \begin{array}{ccccc} 一阶导数 &f'(x)&y'&\frac{dy}{dx}&\frac{d}{dx}f(x)\\ 二阶导数&f''(x)&y''&\frac{d^2y}{dx^2}&\frac{d^2}{dx^2}f(x)\\ \ 三阶导数&f'''(x)&y'''&\frac{d^3y}{dx^3}&\frac{d^3}{dx^3}f(x)\\ n阶导数&f^{n}(x)&y^{(n)}&\frac{d^ny}{dx^n}&\frac{d^n}{dx^n}f(x) \end{array}\notag \end{equation}$$

目前我们遇到的大部分函数形式都是$y=f(x)$，$y$直接或明确的表示成$x$的形式。然而，我们常常看到如下形式的定义

$$\begin{equation} F(x,y)=0\tag1 \end{equation}$$

目前为止，我们求导的最基本函数是幂函数$x^n$：

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

考虑下面函数的导数

$$\begin{equation} y=(x^3+2)^5\tag1 \end{equation}$$